Varighed på inkonvertible annuiteter

Set fra investors side er en annuitet blot en stak stående lån uden kupon - kovertibilitet giver den komplikation at rentestrukturen med tiden vil give en kursstigning; men ikke som følge af en ændring af renten. Det er en konsekvens af rentestrukturen.
Den anden faktor er at ved termin ændrer en annuitet sig fra at være på n terminer til at være på n-1 terminer. Det bliver med andre ord et helt andet lån, der skal vurderes.

Investor har fået indfriet det første stående lån - dels med rente, dels gennem udtrækning (hvis han har obligationer nok). Ved en annuitet ændrer kursen sig dels fordi, der er renteændringer sat af Nationalbanken, markedet og fanden og hans pumpestok - dernæst fordi tiden går.

Det er jomsvikings indvending at i=i(t). Tjoo; men i hvilken sammenhæng?

For en annuitet altså?

Wikipedia

Vi havde for et stående lån uden kupon følgende:

Nu er:
t: tiden
i: renten
Kx : kapitalen til tidspunkt x
Lad os så for nemheds skyld definere kapitaliseringsfaktoren a:


Nu er en annuitet summen af n stående lån med samme Kn=y; hvor y=ydelsen, dvs. rente plus afdrag og n= 1, 2, 3, ..., (n-1), n lig med antallet af tilbageværende terminer.

Vi flytter y ovre på den anden side og lægger så højresider og venstresider sammen - man må godt lægge det samme til på begge sider af lighedstegnet.


Så langt - så godt - men så mener jeg at man laver en fatal brøler, når man sætter

k(t,a) = ¹Ko / y + ²Ko / y + ³Ko / y + ^... + ^(n-1)Ko / y + ⁿKo / y

Altså: Kursen på en annuitet er en eller anden form for gennemsnit af kursen på de enkelte stående lån uden kupon.
Årsagen til at jeg mener, det er noget vrøvl er: Se nu på


hvad nu hvis t<n ??? f.eks. t=n-5:


Dette gennemsnit tager IKKE højde for, at der til tidspunkter t<n vil være tale om én eller flere betalinger, der for længst ER betalt til kreditor: Enten som følge af at kuponen er klippet og betalt som rente, eller obligationen er udtrukket - hvilket den "i gennemsnit" vil være ved en nogenlunde stor obligationsbeholdning - udtrukket og udbetalt til pari.

Dette forhold overser man tilsyneladende ganske, når man differentierer funktionen mht. a - altså renten. Det er overhovedet ikke den samme funktion, man differentierer. t er således udelukkende defineret:

n < t < n+1 , hvor igen n er antallet af tilbageværende terminer.

Lad os prøve at omgruppere og se om vi kan redde den!

k(t,a) = (a^n-t) + (a^(n-1)-t) + (a^(n-2)-t) + ^... + (a^2-t) + (a^1-t) for t>n
k(t,a) = (a^(n-1)-t) + (a^(n-2)-t) + ^... + (a^2-t) + (a^1-t) for t<n

Lader vi nu t n fra hhv. højre og venstre, så kommer vi til en forskel på resultaterne på:
(a^n-t) = (a⁰) = 1

Dvs. lortet er end ikke kontinuert for t havende en heltallig værdi (temmelig markant endda) - unægtelig lidt af en ulempe hvis man vil differentiere i punktet. Det kan da godt være, at man ønsker at differentiere mht. a; men det kunne da være maaaaaajet rart at vide om funktionen overhovedet er defineret!
Man når sådan nogle sjove resultater, når man deler med 0!

Men lad os - for Himlens skyld - bøje os for den umåååååådelige praaaaaaktiske erfAAAAAAring blandt vore ypperste finansfolk:

og sætte a^-t udenfor en parentes:

k(t,a) = a^-t * [(aⁿ) + (a^(n-1)) + (a^(n-2)) + ^... + (a²) + (a¹)] for t>n <=>

k(t,a) = [a^-t / (1-a)] * [ -(aⁿ⁺¹) + (a¹)] for t>n <=>

(her ser vi så bort fra, at (1-a) så p.t. = 0 - sligt flueknepperi generer ikke store ånder)

k(t,a) = [(a^-t * a) / (1-a)] * [1 - aⁿ] for t>n

k(t,a) = a^1-t * (1 - aⁿ) / (1-a) for t>n

Nu må jeg hellere lade andre øjne se på - alene det at vi har delt med nul så mange gange, at jeg bliver lettere forvirret.

Vi kommer så også ind i et andet problem:

Der er ét eller andet sted i udtrykket bare en omformulering af alfa hage n af i ; men for indeværende Guds fred og urokkelige ro med det. Det betyder bare, at den kuponrente ikke betyder en hujende fis - det er udtrækningschancen, der har betydning - eller rettere udtrækningsrisikoen.

Reelt vil en fast forrentet annuitet ikke udløbe - set fra investor side: Den vil være udtrukket længe forinden. Er annuiteten så også konvertibel, så vil den kursstigning, der kommer ganske af sig selv, som følge af konverteringsmuligheden gøre, at kursen ikke kommer meget over pari. Derfor kan en pensionskasse roligt holde fast forrentede konvertible annuiteter "til udløb" - det er nemlig så sjældent og i så lille omfang det sker.
Her kommer rentestrukturen ind i billedet, for på et tidspunkt er restløbetiden så kort, at renten er faldet ganske af sig selv, hvorved kursen vil stige og lånet konverteres. Det er det, der ligger i "holde til udløb" - der bliver altid indfriet til pari - bare der er gået lang nok tid.
Rentestigninger vil så bare udskyde konverteringstidspunktet.

Mere om det en anden dag.

Hej du
Skulle du ikke nyde julen istedet for den der indviklede tal leg
Forsat god jul og godt nytår Thomas
Mvh Tommy

tommyjo skrev:Hej du
Skulle du ikke nyde julen i stedet for den der indviklede tal leg
Forsat god jul og godt nytår Thomas
Mvh Tommy

Det er da det, der er sjovt!

Men jeg bliver mere og mere rystet over så skrøbeligt funderet finanssektoren er. Hvis jeg ikke tager meget fejl, så er hele teorien bag finansiering på et niveau væsentlig under 1.g i gymnasiet.

Jeg har f.eks. aldrig set rentestrukturen beskrevet udover håndtegnede kurver afsat tilfældigt på et stykke papir. Det er nok bare mig; men jeg har aldrig set det!

Problemet med, at binde mikro- og makro-teori sammen: Der har jeg kun set lettere hovedrystende indrømmelse af at - jaaaaa deeeeet......

Der er jo ikke noget avanceret i dette her - for så havde jeg ikke fundet ud af det.

Jeg har hørt alenlange forklaringer om kursudsvingenes fordeling og spredning - jeg har endog set dokumenteret, at spredningen ikke eksisterer - det har ikke afficeret nogen.

Under dot.com sammenbruddet var der en, der fik nobelprisen i investeringsteori, der ruinerede sig selv - netop fordi sigma på den fordeling ikke eksisterer.
Selve det, at disse fordelinger eksisterer husker jeg fra min lærebog i statistik - det var en fodnote! Noget et pernittengryn af en matematiker havde smidt helt en passant ind!

Jeg har set omtalte fordeling omtalt som en gammafordeling af meget høj grad - for år tilbage.

Det svarer til at medicin ikke kendte til mikroskopet!

Det er den kurve, der binder Keynes teori sammen. Postulatet omkring rentekurven. Dvs. hele makroteorien er taget på klamp. Så tro fanden det går galt.

Enten er der noget, jeg totalt har overset - hvilket er muligt - eller også......