Varighed stående lån uden kupon.

Nogle af jer har måske hørt udtrykket og set meget forvirret ud. Velkommen i klubben.
Varighed er kursens følsomhed overfor renteændringer.

Lad os begynde helt enkelt: Med et lån uden kupon og uden afdrag. Altså en fremtidig betaling som købes i dag. Altså et stående lån uden kupon, kun et beløb, der udbetales ved forfald. Hvad er det værd i dag?

Nu er:
t: tiden
i: renten
Kx : kapitalen til tidspunkt x
Lad os så for nemheds skyld definere kapitaliseringsfaktoren a:

Vi roder rundt og får - når vi bemærker at 1/c praktisk kan udtrykkes som c^-1 - så slipper vi for brøkstregen:

Ko/Kt = a^-t

Det er faktisk ikke svært dette:

Ko/Kt er faktisk kursen! Altså hvad vil man betale i dag for at få K kroner på tidspunkt t? Det er så sat i forhold til hinanden - godt nok ikke udtrykt i procent; men i kommatal eller brøk: Det er hvad der er mest praktisk - og hvad man efter behov kan forvirre med.

a^-t = 1 / (1+i)^t skal vi kalde det høkerregning for folkeskolen? Spørg gerne.
Alt så kursen (lad os kalde den k) er en funktion af tiden t og renten i - egentlig 1+i = a:


Hvis vi ser grafen:

Så ser vi noget, vi egentlig godt vidste i forvejen. Nemlig at hvis noget skal fordobles på 10 år så skal det vokse med godt 7% om året - kurs 50 ligger ved 10 års mærket mellem 6% og 8%. Fint nok.

Men vi ser også at afstanden mellem linjerne IKKE er konstant. Altså at kursen påvirkes af renten - det var jo det vi egentlig var interesserede i at finde ud af.

For at finde ud af det skal vi tage hældningen til kurven - eller i denne graf afstanden mellem linjerne - dvs. (og her "glemmer" vi at skidtet også har noget med tiden at gøre) :

Varigheden af et kuponøst stående lån = v(t,a) = dk(t,a)/da

v(t,a) =( [a^t * 0] - [t*a^(t-1) *1] ) / a^2t = - t*a^(t-1) / a^2t = - t / a^(t+1) eller udtrykt mere kompakt:


I er meget velkomne til at rette mig, hvis jeg skulle have mistet overblikket og regnet galt! Det er nogle år siden jeg slog søm i med den hammer.

Beregningerne er hermed verificeret.
Jeg sad og legede lidt med nogle grafer med udtrykket der kommer ud.
Noget der overraskede mig er at varigheden stiger med tiden (for fastholdt rente) op til et vist tidsrum, hvorefter den falder igen. (fordi a^-(t+1) faktoren vinder over t faktoren).
Altså at det ikke blot er tale om at "længere tid giver længere større varighed", men at der er tale om et maksimum i tid, der afhænger af den pågældende rente.
For 5% i rente ligger maksimum i varighed ved ca 20 år, for 3.5% i rente ligger maksimum ved ca 30 år.

Nu er fastforrentede lån jo lidt mere komplicerede end stående lån, når man skal beregne varighed, men mon ikke noget tilvarende gør sig gældende der?

Jeg er ellers matematisk student - men det der overgår mine matermatiske kompetencer med adskillige længder. Hvad er det præcis I prøver at sige - hvis I skal sige det med menneskeord?
Vh Dybt Forundret

abbaratet skrev:Beregningerne er hermed verificeret.
Jeg sad og legede lidt med nogle grafer med udtrykket der kommer ud.
Noget der overraskede mig er at varigheden stiger med tiden (for fastholdt rente) op til et vist tidsrum, hvorefter den falder igen. (fordi a^-(t+1) faktoren vinder over t faktoren).
Altså at det ikke blot er tale om at "længere tid giver længere større varighed", men at der er tale om et maksimum i tid, der afhænger af den pågældende rente.
For 5% i rente ligger maksimum i varighed ved ca 20 år, for 3.5% i rente ligger maksimum ved ca 30 år.

Nu er fastforrentede lån jo lidt mere komplicerede end stående lån, når man skal beregne varighed, men mon ikke noget tilvarende gør sig gældende der?

abbaratet: Du har RET! Der er lokalt minimum for v(t,a) hvor (så vidt jeg lige gennemskuer):


Bilag 1

Dybt Forundret:

Se varigheden siger noget om, hvor hårdt en renteforhøjelse (sænkning) slår igennem på obligationens kurs. Sætter man f.eks. renten OP på en statsobligation med 5½ års restløbetid (NB! Nulkupon) fra 2% til 4%, så FALDER kursen (negativt fortegn på varigheden - ikke overraskende) fra kurs 90 til kurs 80.

Varighed på 0 kupon stående lån

Derved tilføjes investorerne et tab - omgående. Samtidig får staten en forpligtigelse på noget, der vil noget om bare 5½ år (disse obligationer er IKKE konvertible).
Aflæser man nu på den ANDEN graf af de to, ud for 5½ år (gitterstregen) og på 2% linjen, så ser man 5. Nu sagde vi fra 2% til 4% var der 10 kurshak - sjovt nok er (4-2)*5=10 <=> 90-80=10 ... så passer det på kryds!

Varigheden siger noget om hvor HÅRDT en renteÆNDRING slår. Det har meget stor betydning, hvis man skal bruge obligationerne som en kontant reserve - i f.eks. en valutareserve. Man kan altid gøre dem i kontanter; men det er spørgsmålet om prisen!

Problemet omkring kuponløse faste lån er, at de slår MEGET hårdt, som vi kommer til at se hen ad vejen.
Med den lave kupon som f.eks. flere at Bundesanleihen har, så taler vi i praksis uden kupon.
Der er efter adskillige rentesænkninger Bundesanleihen i kurs 180 med ikke ret mange år tilbage . de er faktisk gået illikvide (usælgelige), fordi den rabat man skal give køber bliver til at føle, fordi køber vil tage i betragtning, at om ikke ret længe så får han kun 100 EUR for det papir, han har givet 180 for!

Fidusen - set fra en centralbanks side er - at der skal ikke sælges ret mange stående låns obligationer før "markedet" retter ind.
Problemet for investor er at ved lav rente og lang løbetid, så er statsobligationer noget ekstremt hysterisk: Pensionskassen kan den ene dag være hovedrig - den næste ruineret.

Vi så i oktober 2008, hvor Nationalbanken virkelig manglede valuta, at man måtte spørge ATP om de ville sælge nogle af deres tyske statsobligationer. Hertil svarede Lars Rohde storsmilende: "Jooo, Onkel Nils ..... det kan da godt være..... men det er jo et spørgsmål om PRIS!" Der var kun at æde den for Nationalbankdirektøren. Netop Bundesanleihen slår rigtig hårdt.
Det gjorde så, at man fra ATP's side bagefter kunne udbetale SP-pengene uden vrøvl og hjælpe en lille smule på forbruget, der truede med at gå helt i knæ.

Der ER en grund til at Lars Rohde skal være Nationalbankdirektør. Som jeg hele tiden regnede med.

Det er den egentlige katastrofe ved ødelæggelsen af de fast forrentede konvertible annuiteter: Dem kunne man altid slippe af med, fordi der var en million grådige boligejere, der KUN ventede på en chance for at score en skattefri fortjeneste.
Realkreditterne var med andre ord likvide (til en ret billig penge) til de grader, at man kunne sælge dem i den mængde, det skulle være. Det er nu ødelagt for altid.

Tilbage til abbaratet:

Hvis Du ser på varighedsgrafen, så er det begrænset, hvad der sker med restløbetider under 3-4 år - uanset renten. Det man nok er bange for er en rente på 10% (og tilhørende inflation), for så dur statsobligationerne ikke rigtig til noget. De er gode regulatorer ved lav rente og lang løbetid.

Se den lysegrønne ved en rente på 20% (og vi har været der oppe og ringe), så sker der ikke en skid.

Bundesanleihen

Du kan se hvor truet rentestrukturen er, fordi der er nul-rente under 3½-4 års restløbetid.

Så er der noget ved en debat - når vi alle bliver klogere! Tak!

Meget interesssant.

Jeg har lige den tilføjelse at ovenstående forudsætter at renten er en konstant, i den periode man betragter. (hvordan ændrer kursen sig på sigt hvis jeg, nu, ændrer renten fra a til b - og antager at b holder sig konstant)

Men det betyder jo at renten lige netop ikke er konstant i hele perioden:
kapitaliseringsfaktoren er altså (1+i(t)) hvor (renten er en funktion af tiden)

Så man får at kursen
k(t,a)=a(t)^(-t)

varighed:
k'(t,a)=(-t)*a(t)^(-t-1)*a'(t)


benytter man igen kædereglen på a'(t) ender man med at denne afhænger af i(t) og dennes afledte, og da vi kender begyndelsesværdien er kravet altså at man skal kende rente ændringen i tid: i'(t).

Den kender man ikke. og man har derfor i den virkelige verden ingen ide om hvad kursen er om, lad os sige, 10 år.

Det rationelle kineseri har den begrænsning af det ikke kan generere viden, som ikke allerede findes i det logiske system man anvender kineseriet på

.

Min egen formulering af et berømt, men ignoreret, resultat af Aristoteles.

Jomsviking skrev:Meget interesssant.

Jeg har lige den tilføjelse at ovenstående forudsætter at renten er en konstant, i den periode man betragter. (hvordan ændrer kursen sig på sigt hvis jeg, nu, ændrer renten fra a til b - og antager at b holder sig konstant)

Men det betyder jo at renten lige netop ikke er konstant i hele perioden:
kapitaliseringsfaktoren er altså (1+i(t)) hvor (renten er en funktion af tiden)

Så man får at kursen
k(t,a)=a(t)^(-t)

varighed:
k'(t,a)=(-t)*a(t)^(-t-1)*a'(t)


benytter man igen kædereglen på a'(t) ender man med at denne afhænger af i(t) og dennes afledte, og da vi kender begyndelsesværdien er kravet altså at man skal kende rente ændringen i tid: i'(t).

Den kender man ikke. og man har derfor i den virkelige verden ingen ide om hvad kursen er om, lad os sige, 10 år.

Det rationelle kineseri har den begrænsning af det ikke kan generere viden, som ikke allerede findes i det logiske system man anvender kineseriet på

.

Min egen formulering af et berømt, men ignoreret, resultat af Aristoteles.

Meget enig: Varighed er en øjebliksbetragtning og siger noget om hastighedsvektoren for kursbevægelsen. Man er bla. nød til at forudsætte inkonvertibilitet af papirerne

Hvad det derimod siger en hel del om er den finansielle stabilitet!

Der er også forskel på de papirer bankerne har i handelsbeholdningen og dem, der "holdes til udløb".

Det næste problem varigheden siger noget om er hvilke reserver en pensionskasse skal ligge med for at kunne opfylde de løfter om fremtidige udbetalinger. Varigheden siger en hel del om, hvor meget af afkastet, der kan overføres til pensionssparerne.
Den siger altså en hel del om sårbarheden overfor rentesvingninger i en portefølje - dermed den reserve en pensionskasse skal ligge inde med.

Derfor var de konvertible annuiteter så gode for pensionskasserne: Tabene blev konstateret med det samme - og debitorerne betalte forud for disse svingninger. Holdt renten sig konstant i f.eks. 10 år, så konverterede folk ikke, fordi der var ikke nogen gevinst ved det.
Men det er jo ødelagt for altid.

Det andet er at en pensionskasse principielt aldrig kan love noget - f.eks. et afkast x år ud i fremtiden. De KAN love, at de vil gøre deres bedste. Men de kan jo heller ikke love hvad den fremtidige udbetaling vil være værd!
Foruden usikkerheden omkring inflationen, så kommer at pensionisternes forbrugssammensætning vil være en anden end den de havde som pensionssparere. F.eks.voldsomme stigninger på babytøj kan være ligegyldig for en pensionist.
Når man regner inflation i en pensionskasse, så burde man regne med to forskellige prisindex - dels for sparerne, dels for pensionisterne.

Men altså, det er over hovedet på pensionskasserne, der har problemer nok med at finde ud af om folk har tænkt sig at dø!

Det minder mig om en af de lejligheder, hvor jeg rev hovedet af en bankmand, der priste min faders bankaktier. Da aktier er en langsigtet investering, så spurgte jeg, hvor langt sigt en person over de 85 skulle investere på?

Det foreliggende formål er imidlertid nok så meget et spørgsmål om instrumenter til at stabilisere. Her er disse stående lån ganske udmærkede, fordi de virker så kraftigt: Der skal principielt ikke meget til for at jævne buler i rentestrukturen.

Har man en målsætning for inflationen på f.eks. 2%, så har man jo en 1 årig rente på 2% for neutralitet.
Det er det første fixpunkt. Det næste har man så ved f.eks. 2 år, hvor en produktivitetsstigning kan være udgangspunktet for fastlæggelse af rentespændet.

Siger vi en produktivitetsstigning på 1% om året - eller som tyskerne, der siger 3/4% - og en inflation på 1½%, så har vi rentespændet.
Her har vi så renten på sigt:


1 år: 2 1/4 %
2 år: 3 %
4 år: 3 3/4 %
8 år: 4½ %
16 år: 5 1/4 %
32 år: 6%

Det er den rentestruktur, der følger af de forudsætninger som ligger i den tyske økonomiske-politik.
Det er nok et meget fornuftigt udgangspunkt for hvad realøkonomien kan trække.
Når så den 10 årige Bund er nede i 1½%, så er der noget, der IKKE passer sammen.

Det er formentlig de betragtninger, der ligger bag de 3% som Spanien skal betale for det 10 og 15 årige lån, de har fåët til at stabilisere bankerne for: Forskellen til Bund på 2% er nok så meget et udtryk for at den spanske økonomi reelt vil gennemleve en deflation. Spanien kan godt låne pengene; men skal betale for den inflation andre skal betale.
Indskyderne, der er flygtet - ja, de kommer til at betale skat til Spaniens långivere. Vejen ud for Spanien er naturligvis at beskatte indskyderne - dels ved at klippe skattesvigere, dels ved at beslaglægge urealistiske pensionstilsagn.

Om jeg tror, det har været inde i overvejelserne? Det skal jeg garantere Dig for.