Rentestruktur

Hvis vi antager at rente og tid har følgende sammenhæng:



Hvor:

t : restløbetid på obligationen
1+i : rentefaktoren
ln (?) : den naturlige logaritme
a og b : konstanter (indtil vi finder noget andet at kalde dem i en anden sammenhæng)

Så vil det blive et ret linje på et dobbeltlogaritmisk papir.

(Lige en ting om logaritmer: En mand spiser suppe i regnvejr. Regnen erstatter netop den mængde væske som skeen kommer i munden. Hvor meget suppe har manden spist på et givet tidspunkt efter, at værktøjet er fattet?)

Til jer der allerede HAR knappet bajeren og givet OP: Det bliver lige pludselig meget, meget simpelt.

Altså hvis Onkel Nils under morgenbarberingen får den åbenbaring fra Vorherre (utroligt hvad udsigten til Gevalia kan gøre) at renteforskellen mellem den 10 årige statsobligation og den 5 årige SKAL være - f.eks. 1% - Så véd vi nu - meget hurtigt - hvordan hele resten skal se ud!

Princippet er: Fordobler man restløbetiden skal rentespændet være det samme. Altså: Er den 10 årige stat på 1½%, så ved vi at den 20 årige skal være på (1½% + 1%) omvendt ved vi at den 2½ årige stat skal ligge på den 5 åriges ½% minus 1% = -½%.
Det gør den IKKE! Den 2 årige ligger på 0%! Nu forstår I hvorfor Onkel Nils ser så ked ud af det!

Det bliver værre endnu: Den 1 årige, 6 mdr. og 3 mdr. skal ligge på hhv. -1½%, -2½% og -3½%.

Jeg har taget de tyske Bundesanleihen som eksempel:


Den røde kurve er idealkurven og den blå er pr 30 OKT 12 jævnfør Bundesbank. Der er to markante afvigelser:

1) Renten på de lange tyske er alt for lav, det har flere forklaringer:

• For det første er der mange af dem, der har en ret høj kupon, hvilket presser kursen op.
  
• Det andet er at varigheden på et stående lån er meget høj, hvorfor rentesænkninger slår kraftigt igennem på kursen.
  
• Det tredje er, at der er forholdsvis få obligationer på over 20 år (kun ca. 10% af de 1.000 mia. i omløb) så de er godt indlåst. Der er 15-20 årige obligationer med en kurs på 160-170 stykker (15 år gamle 30 årige med en kupon på 6%-7%) og ingen har lyst til at købe til de priser, fordi holdes de til udløb, så er der et stensikkert tab

2) Renten på de helt korte er alt for høj den skulle gå ned på -2% - -3%. Det siger lidt om hvor massiv indstrømningen af penge på flugt har været. Det er helt ligesom de massive indskud i Nationalbanken - penge uden noget sted at gå hen - og frem for alt ikke lånt til banker. Det kan godt være man er desperat; men ikke nødvendigvis idiot samtidig.
Det siger også noget om, hvor mange penge, der reelt er tabt.

Alt i alt siger det lidt om, hvor alvorlig situationen er.

Vi kan nu tillægge konstanterne en mening:

a = rentespændet mellem den 5 årige og 10 årige statsobligation
b = rentefaktoren (dvs. 1+i) på den 10 årige stat

Vi ser noget interessant, når vi sammenligner rentestrukturen i forskellige lande:


Brasilien har en rasende inflation, så derfor vil deres kurve - naturligt nok være forskudt opad. Det kan diskuteres at inddrage inflationen i form af realrenten; men jeg har valgt IKKE at gøre det, fordi vi her taler om renten forstået som en centralbank handlingsparameter.

Det interessante er, at man definerer alle rentesatser ud fra to parametre. Det har man sådan set altid gjort: Den en var kontanter (mønter og sedler: De har ingen restløbetid og ingen rente) med renten = 0. Hertil kommer så diskontoen, hvis jeg husker rigtigt, der oprindelig var den rente, hvormed nationalbanken belånte 3 måneders veksler.

Vi kan nu skrive formlen fuldt ud:

Rentestrukturen(tid, 1+i, rentespænd, fikspunkt) =

(rente 10 år - rente 5 år) * [ ln (tid) / ln (1+i) ] + renten 10 år

Rentestrukturen(tid, 1+i, rentespænd, fikspunkt) =

(rente 10 år - rente 5 år) * [ ln (tid) / ln (1+i) ] + renten 10 år

Altså dette led:

(rente 10 år - rente 5 år)

Hidtil har vi behandlet det som en arbitrær konstant - sådan klasket passende ind for at få skidtet til at passe! Rent klamp!

Hvorfor har en statsobligation med 10 års løbetid en højere ÅRLIG rente end én på 5 år?
Argumenter mod det modsatte er til at forstå: Nemlig hvis en 10 årig obligation havde en lavere, så ville alle optage et 10 årigt lån og låne det ud på 5 år og stryge en pærelet profit - det var ikke blevet forsømt!

At der er et argument mod det modsatte er ikke en positiv påvisning af en sammenhæng.

Det er lidt som at spørge, hvorfor der skal 10 præmenstruelle kvinder til at skrue en pære i en lampe....

svaret er jo HELT indlysende:

SÅDAN ER DET BARE!!!!!!

Det er i hvert fald den forklaring, jeg har fået!

Vi skal nok lede et andet sted.

Antager vi en årlig produktivitetsstigning på 1% - 1½% og dermed et rentespænd mellem den 1 årige og den 2 årige rente på tilsvarende 1-1½%, så når vi forholdsvis enkelt en rentespænd på hhv. 4% og 6% mellem den 1 årige rente og den 16 årige....

Vi skal jo ikke længere tilbage end 2011 før 2, 5 og 10 årige statsobligationer rente stort set var ækvidistant på 1%. Springet mellem 2 og 5 år (3 år) er næsten det samme som mellem 5 og 10 år (5 i stedet for 6 år).

panik gl

Det har ikke noget med inflationen at gøre!
Det kommer nemlig ind under fastledet:

+ renten 10 år

Nu valgte jeg dengang 10 årig stat, fordi jeg havde 5 årig og 10årig, som de to punkter, der skal til at beskrive en liniær kurve fuldstændigt. Rentekurven er såmænd liniær nok - det er bare koordinatsystemet, der er forkert.
Det er så underligt, når verden ikke retter sig efter virkeligheden - ikke at det er usædvanligt: Bare se på Dansk Folkeparti og Enhedslisten. Virkeligheden kan ikke bruges til noget - den er ikke vedtaget i plenum!
Der er så mange uvirkeligheder, at enhver bare kan vælge den der passer dem bedst!

Ser vi siden 2. verdenskrig, så har diskontoen ligget nogenlunde på inflationen:
realrenten ligger omkring nul - når vi undtager perioden lige før og et pænt stykke efter den tyske genforening! Det tør svagt antydes, at der blev investeret skillinger på det tidspunkt - uden at spørge alt for meget til prisen: Aldrig har penge været anvendt mere fornuftig - selvom de var dyre!
Det har aldrig været nogen dårlig idé at investere i tyske arbejdspladser!

Diskontoen er således nok et rimeligt langsigtet mål for inflationen - og dermed den kompensation, som investorerne skal have for inflationen - det kan vippe lidt op og ned med sex-skandaler og kommunalvalg.

P.t. er inflationen på 2-2½%, hvorfor diskontoen skulle være tilsvarende. Det er den sådan set også!

Da man opgav overhovedet, at angive renter var rentespændet 5-10 år på statsobligationer på 1%. Den 5årige lå helt nede i 0%-0,1%.
Regner vi baglæns, så skulle en 2½ årig ligge i -1% (hvis de ellers havde været til at opdrive), en 1 1/4 årig i -2%: Det svarer til at en 1 årig statobligation skulle ligge med en rente på -2,62%.

Det passer sgu meget godt med en inflation på 2-2½%!

Sandheden er bare så fæl, at man har lukket øjnene!

Jomsvikings indvending bliver ved at murre!

Hvis vi antager at rente og tid har følgende sammenhæng:

(2.1)
Hvor:

t : restløbetid på obligationen
1+i : rentefaktoren
ln (?) : den naturlige logaritme
a og b : konstanter (indtil vi finder noget andet at kalde dem i en anden sammenhæng)

Altså:

1) i = i(t) dvs. renten er en funktion af tiden.
Lad os prøve at reformulere, så vi bruger: r(t) = 1 + i(t)

2) F(t,1+i); men da i=i(t), så kan man spørge sig selv om formuleringen F(t,1+i) er rigtig - endsige hensigtsmæssig.
I virkeligheden om rentens størrelse som funktion af restløbetiden: Dvs "F(t,1+i)"= r(t)-1.

3) a er produktivitetsstigningen pr. tidsenhed.
Det, der kan forvirre (i hvert fald mig) er, at man i produktionsfunktionen, som man bruger til at finde ud af aflønningen af produktionsfaktorerne bruger f.eks. en Cobb-Douglas funktion eller en anden, der har "constant returns to scale" - eller er homogene af 1. grad - altså:

(2.1 a)
[man kunne så også have rodet jordrenten ind, som Retsforbundet og Georgisterne aldrig er kommet ud over - det slagsmål vil jeg så undlade i denne forbindelse, fordi som landbrugspriserne og jordpriserne hopper og danser, så er de beregninger lige så forvirrende som at holde en radikal til et fast standpunkt - dét overstiger mine fattige evner!]

For nu at tale dansk, så forudsættes denne samfundsmæssige produktionsfunktion at være sådan indrettet at fordobler man alle produktionsfaktorerne, så får man produceret det dobbelte! Det er så i en fordelingspolitisk diskussion ikke særlig relevant at det ganske enkelt er forkert!
At det ikke betyder noget dér skyldes, at man er interesseret i marginalen og fordelingen på marginalen. Altså at c ligger og roder omkring 1.

At det ikke er tilfældet véd enhver industriarbejder, der laver noget, der er bare lidt kompliceret, som en flyvemaskine. C-130 Hercules har været i produktion siden 1956 og er bygget i en 2500 eksemplarer (at den så undervejs har ændret sig meget siger også lidt om produktivitet).
Her er der nemlig også det, at fordobler man det TOTALE antal producerede fly så falder de anvendte mandtimer (for nu at tage det) pr. fly med 10-20%, hvor meget er lidt svært at svare på, for noget af det går også over i løbende forbedringer i kvaliteten. Men vi KAN sige, at det har ikke - trods forsøg - kunnet svare sig at udvikle en ny transportmaskine fra bunden af.
Ingeniører kalder det lærekurven (hvilket pædagogerne i blandt os ikke må forveksle med indlæringskurven - eller glemselskurven).

Så håber jeg, at jeg har fået skilt det fra diskussionen om produktionsfaktorernes marginale aflønning.

Den produktionsfunktion vi så taler om er alt andet end homogen.
Nok nærmere noget i retning af (jeg er lidt omstændelig, fordi jeg hader sætningen "heraf ses let" - jeg har altid skullet bruge et kvarter på at "se let"):

(2.1 b)
Dvs. at produktivitetsstigningen egentlig er dP(L,K)/dt = p. Nu regner vi så styk pr. tidsenhed og ikke arbejdstimer pr. styk - så vi skal lige vende den om.

4) Endelig er vi på et eller andet plan nået til, at den oprindelige faktor b er et udtryk for diskontoen (og igen for at forvirre totalt, så er diskontoen egentlig en forud betalt rente).
Så lad os sætte d = 1 + b.

Vi kan således reformulere (2.1) til:

(2.2)
vi lægger 1 til på begge sider af lighedstegnet og får:

(2.3)
Vi ganger igennem med ln(r(t)), hvilket vi altid godt må, fordi logaritmen er en afbildning af R R₊ og som sådan ikke kan blive nul - (det var en af grundene til at jeg reformulerede )

(2.4)
vi flytter "d" leddet over på den anden side og sætter "ln(r(t))" udenfor en parentes. Lad os også sætte r(t) = r - vi har vidst fattet at r er en funktion af t?

(2.5)
(2.6)
vi tager exponentialfunktionen (e) på begge sider af lighedstegnet.

(2.7)
vi uddrager den p'te rod - dvs dividerer exponenterne igennem med p.

(2.8.)
Har jeg lavet noget forkert?

Dvs. man kunne lige så godt sige, at restløbetiden er en funktion af renten, som omvendt.

(2.5)

P(n)=log(n+1)-log(n)

Jeg har på fornemmelsen, at der er tale om elimination af skala!

Men det skulle måske give en mulighed for at vurdere, hvor stor en del af pengemængden, der reelt er tabt!

Men som sagt: Det kræver noget seriøs eftertanke.

Aftale mellem Erhvervs - og Vækstministeriet og Forsikring & Pension om fastlæggelse af rentekurven på pensionsområdet mv.

Metoden indeholder tre væsentlige parametre:
i. ”Ultimate Forward Rate” UFR, der sættes til 4,2 pct. i lighed med det nuværende forslag for Solvens II. Baseret på europæiske tal udgør 2 pct. den langsigtede forventning til inflation og 2,2 pct. den langsigtede forventning til realvækst. De 2,2 pct. er beregnet på baggrund af historiske realafkast på obligationer.
ii. Antallet af år fra det sidste likvide datapunkt (20 år), til UFR skal nås, sættes til 10 år.
iii. Hastigheden hvormed rentekurven skal konvergere mod UFR benævnt ”alpha”. Denne parameter afhænger af perioden valgt i (ii). Jo kortere
periode, jo hurtigere skal kurven konvergere. Parameterværdien fastsættes lavest muligt under bibetingelse af, at forwardrenterne konvergerer
mod UFR efter 30 år.

I alt væsentligt basere aftalen sig på de emner jeg har fremført. Nemlig, at de parametre, der indgår er inflation og realvækst, hvilket sidste må være tæt forbundet til produktiviteten i samfundet. Man kunne så argumentere, at 2,2% (og vi taler altså matematik, hvor 0,1% virkelig gør en betydende forskel - efter 30 år) er meget optimistisk, når vi ser på en samfundsmæssig produktivitetsvækst, hvor vi håber på 1½%. På den anden side set, så vil en produktivitetsstigning isoleret i EU ikke give så forfærdelig megen mening, fordi dem vi konkurrerer med - f.eks. Rusland og Kina - ikke kan se frem til nogen vækst i produktiviteten. Det betyder så igen at relativt vil Europa have en noget højere vækst i produktiviteten, fordi denne vækst må formodes gennem handel at give en vækst på de andres bekostning.

Hvor meget der er tankelæsning fra min side og hvor meget der er afgivet inspiration. Det bliver nok aldrig klarlagt - og er heller ikke frygtelig interessant, fordi det kommer ikke til at give mig skillinger alligevel.

Det væsentlige er, at vi her har fat om nogle helt fundamentale finansielle forhold, som kan blive afgørende for, at vi aldrig igen kommer i en tilsvarende "Finanskrise". Det er noget, som man i Tyskland vil sætte megen pris på.

Sammenlignet med lande som Sverige, Tyskland, Holland og UK er den danske sektors initiativer meget omfattende. Evalueringen viser endvidere, at forbrugeren har gode muligheder for at indhente information om deres pensionsforhold i forhold til på hvilket stadie i livet, forbrugeren befinder sig, samt at de iværksatte initiativer dækker hvert trin i forbrugernes beslutningsproces.

Det, at man i Danmark tager fat før de andre vil medføre en større dansk indflydelse. Specielt hvis det sker på en dybere teoretisk forståelse end den, som er fremherskende i resten af Europa. Hvis man virkelig kan bringe finansiering på kort og langt sigt på én formel, så har man en mulighed for at bringe den makroteoretiske og mikroteoretiske forestillingsverden i harmoni. Ikke nok med det; men man kan få bragt de umiddelbare finansielle forhold på den plads de hører hjemme: Kort sigt på under 1-2 år!
Som det er nu - med "tilfrysning af markedet" og "kreditklemmer" - så er der en mere end ubehagelig vekselvirkning mellem kort, mellem og langt sigt.

At man har taget fat på pensionsområdet først er også væsentligt:

a) Diskonteringsfaktoren for fremtidige forpligtigelser er ikke satans oplysende, når man ikke har klarhed over, hvad man egentlig mener med fremtiden. Det er unægtelig af fundamental betydning, at man finder ud af det! Specielt fordi den nuværende tankegang ikke er tidssvarende. Hvor man tidligere kunne regne med, at folk kradsede af et par år efter, at de gik på pension, så taler vi reelt i dag om en pensionisttilværelse på 20 til 30 år. Lad så være at gubbearbejde - ikke har den helt vanvittige produktivitet, det er så mindre relevant, fordi forbruget og behovet med og uden gebis er to forskellige ting.

b) Det andet er, at vi må se i øjnene, at det bliver pensionsopsparingen - som er helt ude af proportion med ædrueligheden - der kommer til at betale for en rekonstruktion af finanssektoren i Europa. Det er derfor rimelig væsentligt at finde ud af hvor meget vand, der er i bassinet inden man konfiskerer pensionopsparingen.

Man fornemmer lissom, at Nationalbankdirektøren har nogen erfaring med samspillet mellem mellemlange investeringer og langsigtet pensionsopsparing.
Vi ser også den svenske ulykke: Nemlig at det er da fint nok, at man har lavet en samfundsmæssig investering i f.eks. infrastruktur; men de produktivitetsgevinster bliver altså til at overse efter 30-40 år - hvis man blot har været tilfreds med et løbende vedligehold og ikke har foretaget reinvesteringer: Bare se på den antikvitetssamling, som SAS skramler rundt med - fuldstændig utidssvarende. Altså når flyene - uagtet at de virker udmærket på tidligere præmisser - så er det betænkeligt, at flyene er ældre en stewardesserne, når disse bliver pensioneret - desserne altså.
Jernbanerne er endnu værre: Togpersonalet har været afskaffet i mangfoldige år - undtagen i DSB's lønsystem.

Det mest opmuntrende er, at man bringer pengepolitikken ud af middelalderen, hvor man havde én parameter: Diskontoen til at klare alle problemer, så ingen af dem blev klaret. Brandslukning er vel også en form for vedligehold; men næppe af optimal karakter.

Jeg gider ikke her brokke mig over de lidt underlige inter- og ekstrapolationer (for så vidt som jeg forstår dem!), fordi når man kommer ud over løbetider på et par år, så er det fløjtende ligegyldigt om man bruger en linier funktion eller en eksponentiel/eksponentiel. Alene fordi det, at forudsige produktivitetsudviklingen om 30 år er mere en voveligt. Vi har helt andre problem af større kaliber på kort sigt: Nemlig at få bragt blot nogenlunde sammenhæng mellem kort og langt sigt. Som det ser ud i dag, så taler vi vel for praktiske formål en invers rentestruktur. En sådan forudser nemlig i sin natur en negativ produktivitetsudvikling - også kaldet Dansk Folkepartis principprogram: Lad det hele gå ad helvede til, så bliver det alt sammen meget bedre. Lidt ligesom kommunisterne i Enhedslisten: Lad os blive ved med at plyndre, så bliver vi så dejlig rige.

Det er væsentligt at forlade tankegangen om, at reinvesteringer blot opretholder anlæggene. Det er så sjældent, at se en ny Ford T køre som taxa. Tankegangen, der ligger bag den forestilling er ganske enkelt forkert. Nok er man bunden af fortidens investeringer og koncepter; men der er altså ikke nogen grund til at blive ved med at jokke rundt i fejl, blot fordi de nu én gang er begået.

Hvis vi kikker på formlen igen:

(2.8.)

Så er størrelsen


Så er den jo realrenten ifht. produktivitetsstigningen begge dele pr. f.eks. år.

Det lyder sådan set meget fornuftigt, fordi det sætter en værdi på tiden. Man siger som bekendt, at tid er penge - spørgsmålet er så - øhh... hvor mange - penge altså.

I øjeblikket er:


Altså en inflation på - skal vi sige - på tilstræbt 1½% og en rente på (lad os være large og sige) 1/4%, så taler vi en realrente på -3/4%. Holder vi så fast i en produktivitetsudvikling på 1½%, så bliver forholdet (r-d)/p = - 0,0075 / 0,015 = -½
Dvs.:


Vel mere realistisk:


Det passer så også med, at vi skal ret langt op i løbetid før vi overhovedet kan mærke en rente. Fortegnet er nok negativt.

Der er så forbindelsen over til pengemængden. Der er lille tvivl om, at pengemængden - reelt - skrumper, fordi pengene flyder over i tabte fordringer, hvis omsætningshastighed er 0.

Det interessante er nu, at der er en postuleret forbindelse mellem:

mikroteoriens produktivitetsudvikling begreb på den ene side og

makroteoriens pengemængdebegreb (hvis vi fastholder at det er pengemængde gange omsætningshastighed)

Altså, hvis realrenten er af samme størrelse som produktivitetsudviklingen, så

Det er, at den i virkeligheden indeholder to ekstra variable:

Hvorfor:


Det er jo noget man normalt gemmer væk i benævnelserne.