Funktionen ln(ln(x))

Man opstiller almindeligt rækkefølgen af elementære funktioner efter størrelsesorden:


Denne opstilling er imidlertid ikke fuldstændig, fordi der er funktioner, der er endnu mere langsomt voksende; men stadig stiger ud over alle grænser for x → ∞.
Lad os se på grænseværdien for ln(x)/ln(ln(x)):

lim_{x → ∞} ln(x)/ln(ln(x)), hvor ∞ indsat for x giver det ubestemte udtryk "∞/∞", hvilket betyder at l'Hospitals regel kan bruges. Dvs. at grænse værdien for differentialet af nævner og tæller har samme grænseværdi som det oprindelige forhold mellem funktionerne:

NB! Det er ikke diffentialet af en brøk! Det er nemlig, som jeg husker det:

[f(x)/g(x)]' = [g(x)f'(x) - g'(x)f(x)] / g²(x)

Altså:


Det betyder så meget som, at uanset, hvor langsomt ln(x) vokser, så er der altid en funktion, der er langsommere - og stadigvæk går mod uendeligt.

Hvis vi ignorerer inflationen ved at sætte den til nul, så bliver 2.7 til:


Tager vi ln på begge sider:


Vi skal så passe på, at vi ikke kommer til at tage ln til et negativt tal, så r må være defineret som (1+i), hvor i er rentefoden (af bekvemmelighedshensyn sat: i > 0)
Så tager vi ln én gang til.

Lad os lige repetere udledningen af nutidsværdien af en række betalinger som er lige store udbetalt med lige store mellemrum:

Hvor:

• K₀ er nutidsværdien.
  
• i er rentefoden (må ikke forveksles med i=√-1 - skønt fejlen er nærliggende eftersom ingen rigtigt ved,
  hvor renten er blevet af for tiden)
  
• n er antallet af terminer.
  

For at få formlen i den form, vi kender den:

Jeg ved ikke om man kan se, hvor det er, man er i problemer?

Så vidt jeg kan se er det i forbindelse med,  i - eller rettere: (1+i) - er en funktion af tiden t (eller n).
Normalt betyder det ikke noget for n ≤ 2år, fordi ln(ln(t)) har en meget skarp bue, fordi man ikke kan tage logaritmen af et negativt tal. For korte kreditter betyder annuitetsformlen ingenting og er som sådan uinteressant (i princippet) for kassekreditter o.lign., hvis disse bliver brugt efter hensigten: Til betalingsafvikling og ikke til finansiering af investeringer (eller overforbrug).
Skelnen er langt fra triviel, fordi den kreditvurdering en bank principielt kan foretage rækker ikke ud over hvad et årsregnskab kan oplyse.

Den omstændighed, at ln(ln(t)) vokser så umådeligt langsomt gør, at en fast rente ikke er generende. Fordi afvikles en annuitet efter planen, så falder restgælden specielt hurtigt i sidste halvdel af løbetiden.

Sagen stiller sig imidlertid ikke så lidt anderledes, når vi taler løbetider over 20 år (der så i øvrigt heller ikke bliver afdraget ). Efter 15-20 år vil det imidlertid gå galt: log₁₀(log₁₀(10)) bliver nemlig negativ. Typisk vil en annuitet også blive refinansieret efter 10 år. Det kan være et sammenfald, at vi taler log₁₀; men under alle omstændigheder skal der være en grænse et sted.

Jeg er mig fuldt bevidst, at en diskussion af dette emne er futil, hvis skolelærere og banksvin mener, at de er berettiget til at have en mening. Problemet er imidlertid, at vi taler om landets finansielle stabilitet og den samlede økonomis evne og udsigter til at komme nogenlunde helskindede fra den ulykke, som banksvinene har påført os.
Jeg vil her minde om nationalbankdirektørens betragtninger om flexlånene, der kunne have en berettigelse i ganske sjældne tilfælde for meget velstående, der skulle bruge et par år til at få restruktureret formuen. F.eks. fra en komplet ligegyldig pensionsopsparing.

funktionsanalyse.

differentiering X^X^X

Så har jeg sat en japansk og indisk professor i arbejde.....

Som ses her.

Thomas skrev:funktionsanalyse.

differentiering X^X^X

Så har jeg sat en japansk og indisk professor i arbejde.....

Som ses her.

Hmmm......

logaritmisk..

Funktionen ln(ln(x)) er ikke-elementær. Dvs. den har ikke noget antiderivativ - og de er altid et helvede at håndtere.

Some examples of such functions are:

• [(1-x⁴)]^½  (see Elliptic integral)
  
• ln(ln x)
  
• (ln x)^-1 (see Logarithmic integral)
  
• e^x/x (see Exponential integral)
  
• e^e[sup]x[/sup]
  
• (e^x[sup](-2/2[/sup]) see Error function and Gaussian integral)
  
• sin(x²) and cos(x²) (see Fresnel integral)
  
• sin(x)/x
  

relevant til ln(ln(x))

relevant for ln(ln(x))

Euler-Mascheroni konstanten.

Thomas skrev:relevant til ln(ln(x))

Ikke helt...... formentlig slet ikke!

Men Euler Mascheroni konstanten er en konstant på linie med pi og e, der medierer mellem den diskrete summation i f.eks. en tilbagediskontering og det kontinuerte integrale med rentestyrken.

Finder jeg nogen sinde ud af det? Næppe! Det kræver nemlig seriøst arbejde og det er der ikke nogen, der betaler mig for. Meget få ønsker at få bevist, at de er inkompetente svindlere. Da de er platugler, har de heller ikke pengene til det.

Konvergent eller divergent???