Træblæsere og komplekse tal.

af Thomas Søn Maj 21, 2017 12:32 pm

Indledning:

Formålet er at finde ud af, hvad der egentlig sker inden i en træblæser.
Det er. så vidt, jeg har fået fortalt, sådan: At Danmark har noget nær verdensmonopol på fremstilling af orgler. Det beror på en faglig fabrikationshemmelighed. Det skulle som sådan ikke være svært at bygge et orgel; men det kræver, at man véd hvordan!
Det med at vide hvordan, tja... det får man ikke, hvis man ikke er udlært!

Jeg har også fået fortalt, at (var det Yamaha?) havde anskaffet et orgel for at finde ud af hvordan man lavede dem. Det var de da velkomne til - det ville bare ikke hjælpe dem: Der er noget, de ikke har fået fortalt!
Man kan ikke måle på luftstrømmen i en orgelpibe - ikke uden at forstyrre luftstrømmen, hvorfor målingen ikke kan bruges til noget.

Hele emne er som sådan meget et igangværende arbejde, hvor jeg hele tiden bliver klogere - og så formentlig må rette baglæns.

af Thomas Søn Maj 21, 2017 2:51 pm

Thomas skrev:Eksponential funktionen kan skrive som en uendelig sum:

....
1.8
e^iπ = -1

Ser man forbi, at han er en drengerøv (det har de fleste af os vel - i det mindste - været, så var det i hvert fald for mig en tindrende klar fremstilling, som jeg bare har lavet nogle armhævninger i. Jeg synes faktisk den er rigtig god.
For nu at citere mig selv:For nu at citere mig selv:
Overtonerne i klarinetfamilien for det dybe register har harmonierne 1,3,5,7.... gange den anslåede tones frekvens.
Obo familien har derimod harmonierne 2,4,6,8 ......

Nu begynder vi at få en forklaring!
1.9
e^iθ = [1 - θ²/2! + θ⁴/4! - θ⁶/6! + θ⁸/8! - θ¹⁰/10! + θ¹²/12! - θ¹⁴/14! + ....]
+ i [( θ¹ - θ³/3! + θ⁵/5! - θ⁷/7! + θ⁹/9! - θ¹¹/11! + θ¹³/13! - .... ) ]

Oboen skærer sig igennem hele orkestret - spiller man forkert, så er man sikker på, at alle har hørt det! Det kunne have sin forklaring i, at overtonerne i virkeligheden ikke er 2,4,6,8,... oktaver over; men følgen i virkeligheden er:

θ⁰/0!, θ²/2!, θ⁴/4!, θ⁶/6!, θ⁸/8!, θ¹⁰/10!, .....

Dvs. frekvensvægtene for oboer (der deles med fakultetet = n!) er 1/0!, 1/2!, 1/4!, 1/6!, 1/8!,.... = 1/1, ½, 1/24, 1/720, 1/40320, .....
For klarinetterne er det: 1/1!, 1/3!, 1/5!, 1/7!, 1/9! = 1/1, 1/6, 1/120, 1/5040, 1/362880,....
Hos klarinetterne forsvinder overtonerne langt, langt hurtigere - eller med andre ord: Overtonerne har en større vægt hos oboen!
Det kunne så også forklare hvorfor messingorkestre har den "messinglyd". Jeg har set det tilskrevet, at overtonerne hos en trompet (f.eks.) overkorrigerer i forhold til "firkantsignalet" - det vil en obo således også gøre!

Det efterlader så et fornyet forklaringsproblem: Hvordan forholder det sig med piccolo-fløjten? Den er også konisk; men i den omvendte retning: Den tilspidser!
Det forklarer så også, hvorfor bas-fløjterne, der er cylindriske som klarinetterne er, aldrig er blevet til noget særligt: Der er ganske enkelt ikke nogen overtoner til at tage fra. Der skal rigtig megen luft til at få en basfløje til at sige noget som helst. En obo behøver næsten ingenting. Når en oboist trækker vejret, så er det fordi, der ikke er mere ilt tilbage i luften.
Oboister har en åndedrætsteknik, der går på at holde trykket med mundmuskulaturen - og så ånde ud og ind gennem næsen - efter sigende skulle det være praktisk i forbindelse med at blæse i en ballon til en spiritusprøve: Den luft, der går igennem til ballonen har slet ikke været i lungerne!

af Thomas Tirs Maj 23, 2017 2:51 pm

Det her er godt nok noget jeg kun sporadisk har stiftet bekendtskab med i min ungdom, så hvis der er nogen, der kan se fejl, så lad mig dem vide.

Slår man op på nettet, så får man flg. regler for simpel operationer:

Summen af to komplekse tal: a+bi og c+di (hvor i=√-1):

2.1
(a+bi) + (c + di) = (a + c) + i(b+d)

Produktet af to komplekse tal:

2.2
(a+bi) * (c + di) = (ac - bd) + i(bc + ad)

Division af to komplekse tal:

2.3
(a+bi) / (c + di) = [ (ac + bd) / (c² + d²) ] + [ i * (bc - ad) / (c² + d²) ]

Vi får også brug for nogle af de banale trigonometriske formler:

2.4
cos²θ + sin²θ = 1 ; den såkaldte "idiotformel".

2.5
sin(2θ) = 2sinθcosθ

2.6
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ

af Thomas Tirs Maj 23, 2017 4:17 pm

Vi kan formentlig alle høre forskel på en obo (engelskhorn, fagot) og klarinetterne (herunder basset-klarinet og bassethorn).
Det koniske instrument er stemt nogenlunde som det cylindriske; men der er - i hvert fald i det dybe register en klar forskel i tonens karakter og kvalitet.

Der sker noget, når man går fra det enkelte rørblad til det dobbelte eller fra cylindrisk til konisk; men hvad?

Hvis vi tager Eulers formel (1.6):
e^iθ = cosθ + i*sinθ
så er tanken nærliggende, at der vendes om på fortegnene.
Ganges to komplekse tal sammen, så svarer det til, at man drejer koordinatsystemet: Enten den ene eller den anden vej!

Altså:

2.10

(cosθ + i*sinθ) * (x +yi) = sinθ + i*cosθ <=>

Der er næppe tale om en addition, fordi længden (normen) af vektoren ikke ændres!
Der hvor tvivlen kan opstå er fortegnet før det komplekse tal på højresiden, hvorfor vi undersøger begge dele.

For at kunne anvende 2.3:

2.11

(x +yi) = (sinθ + i*cosθ) / (cosθ + i*sinθ) <=>

2.12

(x +yi) = [(sinθcosθ + sinθcosθ) / (cos²θ + sin²θ)] + i[(cos²θ - sinθ²) / (cos²θ + sin²θ)] <=>

med anvendelse af 2.4:

(x +yi) = [2sinθcosθ / 1)] + i[(cos²θ - sinθ²) / 1] <=>

med anvendelse af 2.5 og 2.6:
2.13

(x +yi) = [sin(2θ)] + i[(cos(2θ)]

Er det i stedet et minus der står på højresiden af 2.10, får vi:

(cosθ + i*sinθ) * (x +yi) = sinθ ± i*cosθ =>

2.14

(cosθ + i*sinθ) * (x +yi) = sinθ - i*cosθ <=>

(x +yi) = [(sinθcosθ - sinθcosθ) / (cos²θ + sin²θ)] + i[(- cos²θ - sinθ²) / (cos²θ + sin²θ)] <=>

Og dermed:

(x +yi) = [(sinθcosθ - sinθcosθ) / 1 ] - i * [(cos²θ + sinθ²) / 1] = 0/1 - i (1/1) <=>

Hvilket resulterer i:
2.15

(x +yi) = - i

af Thomas Ons Maj 24, 2017 3:24 am

Eksponential funktionen kan skrive som en uendelig sum:

1.1
1.1 e^x = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! + x⁶/6! + x⁷/7! + ...

Hvor, som sædvanligt: n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * 4 * 3 * 2 * 1.
0! = 1 er defineret.

I stedet for x ind sætter vi så iθ, hvor i = √-1 og θ er vinklen målt i radianer:

1.2
e^iθ = iθ⁰/0! + iθ¹/1! + iθ²/2! + iθ³/3! + iθ⁴/4! + iθ⁵/5! + iθ⁶/6! + iθ⁷/7! + iθ⁸/8! + iθ⁹/9! + iθ¹⁰/10! + ....
<=>

Da i² = -1 og i⁴ = +1 :

1.3
e^iθ = 1/1! + iθ¹/1! - θ²/2! - i(θ³)/3! + θ⁴/4! + i(θ⁵)/5! - θ⁶/6! - i(θ⁷)/7! + θ⁸/8! + i(θ⁹)/9! - θ¹⁰/10! + ....
<=>

Det rearrangerer vi så de reelle led kommer for sig og de imaginære for sig:

1.4
e^iθ = 1 - θ²/2! + θ⁴/4! - θ⁶/6! + θ⁸/8! - θ¹⁰/10! + θ¹²/12! - θ¹⁴/14! + ....
+ iθ¹ - i(θ³)/3! + i(θ⁵)/5! - i(θ⁷)/7! + i(θ⁹)/9! - i(θ¹¹)/11! + i(θ¹³)/13! - ....
<=>

i sættes udenfor en parentes:

1.5
e^iθ = [1 - θ²/2! + θ⁴/4! - θ⁶/6! + θ⁸/8! - θ¹⁰/10! + θ¹²/12! - θ¹⁴/14! + ....]
+ i [( θ¹ - θ³/3! + θ⁵/5! - θ⁷/7! + θ⁹/9! - θ¹¹/11! + θ¹³/13! - .... ) ]
<=>

Den første kantede parentes genkender vi som^*):

cos θ = [1 - θ²/2! + θ⁴/4! - θ⁶/6! + θ⁸/8! - θ¹⁰/10! + θ¹²/12! - θ¹⁴/14! + ....]

Den anden kantede parentes er^*):

sin θ = [θ¹ - θ³/3! + θ⁵/5! - θ⁷/7! + θ⁹/9! - θ¹¹/11! + θ¹³/13! - .... ]

*) Disse identiteter kan man finde på nettet.

Vi indsætter i formel 1.5 :

1.6
e^iθ = cosθ + i*sinθ

Indsætter vi:

θ = π

Får vi:

1.7
e^iπ = cos(π) + i*sin(π)
Da cos(π) = -1 og i*sin(π) = i*0 = 0; så får som en glædelig overraskelse:

1.8

e^iπ = -1

af Thomas Ons Maj 24, 2017 3:51 am

Gentager vi lige resultaterne af udledningen:

I:

(x +yi) = [sin(2θ)] + i[(cos(2θ)]

II:

(x +yi) = - i

	+	-
x =	sin(2θ)\|	1\|
y =	cos(2θ)\|	1\|

Men matematikken forklarer hvad, der sker en overblæsning!

Det normale i det dybe register er II, nemlig, at der kun skiftes fortegn på (cosθ + i*sinθ) ved at gange med i , dvs. til (i*cosθ - sinθ)

Der er imidlertid uklarhed om at forholdet skyldes at de cylindriske instrumenter er enkeltbladede fremfor de koniske, der er dobbeltblade.
Noget kunne tyde på, at det er det dobbelte svingningslegeme, der er afgørende:
En tuba kan f.eks. "underblæses" ved at musikeren sætter den ene læbe udenfor mundstykket. Tonen er godt nok dybere; men den er upålidelig. Alle messing-blæsere er vel i princippet koniske.

af Thomas Ons Maj 24, 2017 7:01 am

Vi er imidlertid ikke færdige med formelgymnatikken i de komplekse tal:

Udledningen af formlen skulle være til at følge:

Indsætter vi i

1.6
e^iθ = cosθ + i*sinθ

e^inθ i stedet for e^iθ, hvor n er et heltal, så får vi:

2.16
e^inθ = cos(nθ) + i*sin(nθ) <=> (e^iθ)ⁿ = (cosθ + i*sinθ)ⁿ <=> cos(nθ) + i*sin(nθ) = (cosθ + i*sinθ)ⁿ

For n=2 får vi dermed:

Ia:

(x +yi) = [sin(θ) + i*cos(θ)]²

For n=0 får vi:

[sin(0*θ)] + i[(cos(0*θ)] = sin(0) + i*cos(0) = 0 + (i*1) = i
IIa:

(x +yi) = - i

Jeg har nok fået vendt fortegnet forkert for det irrationale tal et eller andet sted.

af Thomas Tirs Maj 30, 2017 4:20 pm

En piccolo er modsat almindelige fløjter konisk, hvor fløjter er cylindriske; men piccoloens konus vender den forkerte vej! Den tilspidser væk fra lyddannelsen.
Det andet er, at den har overtonerne 1½, 2½, 3½...... etc.

Foretager vi samme analyse med piccolo'en så får vi:

4.1

(cosθ + isinθ) (x +iy) = (sinθ + icosθ)^1½ <=>

Venstesidens faktor er valgt p.gr.a. den direkte adgang til Eulers formel:

e^iθ = (cosθ + isinθ)

Det er praktisk, når man skal fordoble, dvs. gå hele oktaver op! Potensregning er så meget letter med eksponentialfunktionen.

Først skal vi have elimineret den grimme kvadratrod i potensen (√x = x^½) og (e^iθ = e^{i(½θ) * 2}):

4.2

[(cos(½θ) + isin(½θ)(cos(½θ) + isin(½θ)] (x +iy) = (sinθ + icosθ)*(sinθ + icosθ)^½ <=>

nu er forholdet mellem to komplekse tal (a + bi) / (c + di) = (ac+bd)/(c²+d²) + i * [(bc - ad) / (c²+d²)]. Nu er alle de komplekse tal, vi dividerer med af formen (cosx + isinx), så (c²+d²) = cos²x + sin²x = 1. Det gør nedskrivningen noget lettere.

4.2

[(cos(½θ) + isin(½θ)) / (sinθ + icosθ)]{(cos(θ) + isin(θ) / (sinθ + icosθ)}^½ (x +iy) = 1 <=>

(cos(½θ)sinθ + cosθsin(½θ)) + i*(cos(½θ)(cos(θ) - sin(½θ)sin(θ)) * [(sinθcosθ + sinθcosθ) - i * (cos²θ - sin²θ)] * (x +iy) = 1 <=>

{[sin(1½θ) + i*cos(1½θ)] * [sin(2θ) - i*cos(2θ)]^½} * (x +iy) = 1 <=>

Vi kvadrerer på begge sider

[sin(1½θ) + i*cos(1½θ)]² * [sin(2θ) - i*cos(2θ)] * (x +iy)² = 1 <=>

Vi noterer: 1/(a + ib) = (a - ib), hvis a²+b^{2 = 1}

~~-1 * i * (x +iy)² = (cos(1½θ) + i*sin(1½θ))² / (sin(2θ) - i*cos(2θ))~~ <=>

af Thomas Fre Jun 02, 2017 4:26 pm

I denne arie af Meyerbeer.

Det spændende bliver, hvordan den kommer til at lyde med Diana Damrau:
Interview.

Problemet for de høje sopraner og klarinetter er: På Mozarts tid var der ikke så høje klarinetter - og slet ikke musikere af kvalitet, der kunne spille på dem.
Her håber jeg så på et samarbejde mellem Sabine Meyer og Diana Damrau - det bliver altså bedre når begge parter er på faglig omgangshøjde.

Klarinetten i eksemplet er formentlig stemt en anelse for dybt! En terts måske?

af Thomas Søn Jun 11, 2017 1:05 am

Wikipedia.

The mouthpiece and reed are surrounded by the player's lips, which put light, even pressure on the reed and form an airtight seal. Air is blown past the reed and down the instrument. In the same way that a flag flaps in the breeze, the air rushing past the reed causes it to vibrate. As air pressure from the mouth increases, the amount the reed vibrates increases until the reed hits the mouthpiece. At this point the reed stays pressed against the mouthpiece until either the springiness of the reed forces it to open, or a returning pressure wave 'bumps' into the reed and opens it. Each time the reed opens, a puff of air goes through the gap, after which the reed swings shut again. When played loudly, the reed can spend up to 50% of the time shut.[20] The 'puff of air' or compression wave (around 3% greater pressure than the surrounding air[19]) travels down the cylindrical tube and escapes at the point where the tube opens out. This is either at the closest open hole or at the end of the tube (see diagram: image 1).
More than a 'neutral' amount of air escapes from the instrument, which creates a slight vacuum or rarefaction in the clarinet tube. This rarefaction wave travels back up the tube (image 2).
The rarefaction is reflected off the sloping end wall of the clarinet mouthpiece. The opening between the reed and the mouthpiece makes very little difference to the reflection of the rarefaction wave. This is because the opening is very small compared to the size of the tube, so almost the entire wave is reflected back down the tube even if the reed is completely open at the time the wave hits (image 3).
When the rarefication wave reaches the other (open) end of the tube, air rushes in to fill the slight vacuum. A little more than a 'neutral' amount of air enters the tube and causes a compression wave to travel back up the tube (image 4). Once the compression wave reaches the mouthpiece end of the clarinet 'tube', it is reflected again back down the pipe. However at this time, either because the compression wave 'bumped' the reed or because of the natural vibration cycle of the reed, the gap opens and another 'puff' of air is sent down the pipe.
The original compression wave, now greatly reinforced by the second 'puff' of air, sets off on another two trips down the pipe (travelling 4 pipe lengths in total) before the cycle is repeated again.

Her er den originale artikel: Som jeg ved lejlighed skal have studeret nærmere.

af Sponsoreret inhold

	+	-
x =	sin(2θ)\|	1\|
y =	cos(2θ)\|	1\|

Træblæsere og komplekse tal.

Træblæsere og komplekse tal.

Kapitel 1 (kommentarer)

Kapitel 2.1 Komplekse tal

Kapitel 2.2 Obo og klarinet

Kapitel 1: Udledning af Eulers formel.

Kapitel 2 Kommentar

Kapitel 3.1 De Moivres formel

Kapitel 4: Piccolo fløjten. En eksercits i algebraisk formelgymnastik!

Prøv at høre hvordan klarinetten og sopranen klinger sammen.

En forklaring på akustikken i klarinetten:

Sv: Træblæsere og komplekse tal.