Enhver rod af et primtal er irrationel.

Antag det modsatte:
(1)

• n >1 er et naturligt tal.
  
• a,b er heltal
  
• p er et primtal, dvs. kun deleligt med sig selv og 1.
  

Vi noterer os at:

• ⁿ√p = p^(1/n)
  
• Ethvert heltal kan skrives som produktet af primfaktorer:
  a = (p₁^m₁ * p₂^m₂ * p₃^m₃ * ....), hvor:
  
  
  
  • p₁, p₂, p₃, ... er primfaktorer.
    
  • m₁, m₂, m₃, ... er heltallige potenser.
    
  • Brøken a/b kan således skrives som:
    a/b = p₁^m₁ * p₂^m₂ * p₃^m₃ * .... , hvor m_i er en heltallig potens.
    idet: f.eks. 1/x = x^-1
    
  
  
  

Primfaktorerne i tæller og nævner er gensidigt udelukkende, fordi optræder en primfaktor begge steder kan der forkortes ud og primfaktoren optræder således én og kun én gang i produktet, når vi forlanger at brøken skal være uforkortelig.
Et primtal kan ikke gå op heltalligt i et tal, der ikke har det dette primtal som faktor.
(2)
I det ethvert tal indeholder et endeligt antal primfaktorer (m) forskellig fra nul, hvor x⁰ = 1, så p_i = 1 er patologisk og uinteressant:
(3)

Da:

• p er et primtal og som derfor ikke kan deles med noget som helst uden at blive en brøk, så kan der ikke være m_i mindre end nul.
  
• p er et primtal og som sådan ikke et produkt af andet end sig selv og 1
  

(4)

• Kan ikke være korrekt, fordi intet primtal er lig sig selv ophøjet til en positivt potens større end 1: F.eks. 5 er ikke 5² = 25
  
• Den oprindelige antagelse er således forkert og modbevist.
  

at efter beviset på, at √2 (evt. √3, når det går højt), så kommer matematikprofessoren med bemærkningen, at ingen véd om f.eks. ³√5 er rationel eller ej.

Nu har jeg ikke set andre komme med ovenstående bevis, hverken på nettet eller andre steder; men jeg ser så langt fra alt - langt fra.

Men jeg kan ikke se at det gælder for alle primtal, hvilket er en udvidelse af den talmængde, vi med sikkerhed kan sige er irrationel.

Spørgsmålet er imidlertid ikke trivielt, hvad Eulers ligning skulle klargøre:

At noget der roder med to transendente tal skulle give noget så banalt som -1 gør, at man ikke kan gå ud fra, at f.eks. √26 er irrationel selvom både √2 og √13 er irrationelle. Om det er? Keine Ahnung!